y= x (в квадрате) + 4x -1

Рассмотрим квадратичную функцию
$y = x^2 + 4x - 1$.

1) Вершина и ось симметрии
Приведём к вершиной форме, дополнив квадрат:

Отсюда вершина $V(-2,\,-5)$, ось симметрии — прямая $x=-2$. Парабола направлена вверх (т.к. $a=1>0$).

2) Область определения и значения
$\mathcal{D}=\mathbb{R}$.
Минимум достигается в вершине: $y_{\min}=-5$ при $x=-2$.
Следовательно, $\mathcal{E}=[-5,\,+\infty)$.

3) Нули (корни) функции
Дискриминант: $D=4^2-4\cdot1\cdot(-1)=20$.

Приближённо: $x_1\approx-4{,}236$, $x_2\approx 0{,}236$.
Пересечения с осями: с $Oy$ — в точке $(0,\,-1)$; с $Ox$ — в точках $\bigl(-2\pm\sqrt{5},\,0\bigr)$.

4) Возрастание/убывание
Производная: $y'=2x+4$.
Критическая точка $x=-2$.
Функция убывает на $(-\infty,-2]$ и возрастает на $[-2,+\infty)$.

5) Выпуклость
Вторая производная $y''=2>0$: график выпуклый вверх на всей $\mathbb{R}$.

6) Фокус и директриса (если нужно для геометрии параболы)
Из $(x+2)^2=y+5$ получаем вид $(x-h)^2=4p(y-k)$ с $h=-2$, $k=-5$, $4p=1\Rightarrow p=\tfrac14$.
Фокус: $(-2,\,-5+\tfrac14)=\bigl(-2,\,-\tfrac{19}{4}\bigr)$.
Директриса: $y=-5-\tfrac14=-\tfrac{21}{4}$.

7) Первообразная
$\displaystyle \int (x^2+4x-1)\,dx=\frac{x^3}{3}+2x^2-x+C$.

Кратко о графике: стандартная парабола $y=x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево и на 5 вниз; минимум $(-2,-5)$; пересекает ось $Oy$ в $(0,-1)$, ось $Ox$ в $(-2\pm\sqrt{5},0)$.