решите неравенство lg(x-4) + lg(x-3) > lg(17-3x) и укажите количество его целочисленных решений

Для решения неравенства $\lg(x-4) + \lg(x-3) > \lg(17-3x)$ начнём с использования логарифмических свойств.

1. Используем свойство логарифмов: $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, если $a > 0$ и $b > 0$. Применим это к левой части неравенства:

Таким образом, неравенство принимает вид:

2. Удаляем логарифмы. Логарифмическая неравенство можно решить, при условии, что выражения внутри логарифмов положительные. Таким образом, требуется, чтобы $(x-4)(x-3) > 0$ и $17 - 3x > 0$. Оставшиеся логарифмы можно привести к простому виду, если при этом обе части неравенства больше 0:

3. Решим полученное неравенство. Раскроем скобки в левой части:

Теперь неравенство выглядит так:

Переносим все выражения на одну сторону:

Упрощаем:

Решим квадратное неравенство $x^2 - 4x - 5 > 0$. Для этого найдём корни соответствующего уравнения:

Корни этого уравнения можно найти по формуле:

Таким образом, корни уравнения:

Неравенство $x^2 - 4x - 5 > 0$ имеет решение на интервалах $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

4. Учитываем условия существования логарифмов. Для того чтобы выражения внутри логарифмов были положительными, должны выполняться следующие условия:

   • $x - 4 > 0$ или $x > 4$

   • $x - 3 > 0$ или $x > 3$

   • $17 - 3x > 0$ или $x < \frac{17}{3} \approx 5.67$

Таким образом, для существования всех логарифмов необходимо, чтобы $x > 4$ и $x < \frac{17}{3} \approx 5.67$.

5. Ищем пересечение интервалов. Пересечём интервал $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$ с интервалом $(4, \frac{17}{3})$. Из этого пересечения получаем: