Найдите определения функции y=tg4x

Функция $y = \tan(4x)$ является трансформированной версией стандартной тригонометрической функции тангенса $y = \tan(x)$. Рассмотрим ее особенности.

1. Основная форма:
   Тангенс — это функция, которая определяется как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$$

   Для функции $y = \tan(4x)$ аргумент изменяется, и это влияет на частоту колебаний функции.

2. Период:
   Период функции $y = \tan(x)$ равен $\pi$, то есть она повторяется через $\pi$ единиц по оси $x$. В случае с $y = \tan(4x)$ аргумент $4x$ приводит к уменьшению периода функции, так как вся функция будет повторяться быстрее. Период функции $y = \tan(kx)$ для коэффициента $k$ вычисляется по формуле:

   $$T = \frac{\pi}{|k|}.$$

   Для $y = \tan(4x)$ период будет равен $\frac{\pi}{4}$.

3. Ассимптоты:
   Тангенс имеет вертикальные асимптоты там, где его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. Для функции $y = \tan(4x)$ асимптоты будут происходить, когда $4x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, что можно переписать как:

   $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   То есть вертикальные асимптоты для $y = \tan(4x)$ будут располагаться через $\frac{\pi}{4}$ единиц вдоль оси $x$.

4. График:
   График функции $y = \tan(4x)$ будет выглядеть как серия плавных кривых, которые бесконечно увеличиваются и уменьшаются между вертикальными асимптотами, и будет иметь более частые колебания, чем график стандартного тангенса. Он будет повторяться каждые $\frac{\pi}{4}$ единиц вдоль оси $x$.

5. Особенности функции:

   • Функция $y = \tan(4x)$ не ограничена значениями, так как тангенс может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$.

   • Для значений $x$, при которых $4x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, функция не определена, так как в этих точках функция имеет вертикальные асимптоты.

   • При $x = 0$, $\tan(4x) = 0$, то есть график проходит через начало координат.

Таким образом, функция $y = \tan(4x)$ — это периодическая тригонометрическая функция с уменьшенным периодом, вертикальными асимптотами и бесконечными значениями на интервалах между асимптотами.