1). Определите, при каких значениях а выполняется равенство а/|а|=1 и |а|/а= -1 2). Найдите корни уравнения х|х|=3х и х|х|=-4|х|

1). Определите, при каких значениях а выполняется равенство $\frac{a}{|a|} = 1$ и $\frac{|a|}{a} = -1$

Рассмотрим два выражения по очереди.

1.1) $\frac{a}{|a|} = 1$

Это выражение можно интерпретировать следующим образом:

• Если $a > 0$, то $|a| = a$, и выражение $\frac{a}{|a|} = \frac{a}{a} = 1$.

• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и выражение $\frac{a}{|a|} = \frac{a}{-a} = -1$.

Для того чтобы $\frac{a}{|a|} = 1$, необходимо, чтобы $a > 0$, так как при $a < 0$ это выражение будет равно -1.

1.2) $\frac{|a|}{a} = -1$

Аналогично рассуждаем для второго выражения:

• Если $a > 0$, то $|a| = a$, и выражение $\frac{|a|}{a} = \frac{a}{a} = 1$.

• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и выражение $\frac{|a|}{a} = \frac{-a}{a} = -1$.

Для того чтобы $\frac{|a|}{a} = -1$, необходимо, чтобы $a < 0$, так как при $a > 0$ это выражение будет равно 1.

1.3) Совмещение условий

Для того чтобы оба равенства выполнялись одновременно, нужно, чтобы $a > 0$ (для первого равенства) и $a < 0$ (для второго равенства), что невозможно. Таким образом, таких значений $a$, при которых оба равенства выполняются, не существует.

2). Найдите корни уравнений $x|x| = 3x$ и $x|x| = -4|x|$

2.1) Уравнение $x|x| = 3x$

Разделим это уравнение на два случая в зависимости от знака $x$.

• Если $x > 0$, то $|x| = x$. Подставим в уравнение:

  $$x \cdot x = 3x \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3x \quad \Rightarrow \quad x(x - 3) = 0.$$

  Это уравнение имеет два решения: $x = 0$ или $x = 3$. Но так как мы рассматриваем случай $x > 0$, то единственное решение — $x = 3$.

• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим в уравнение:

  $$x \cdot (-x) = 3x \quad \Rightarrow \quad -x^2 = 3x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 3) = 0.$$

  Это уравнение имеет два решения: $x = 0$ или $x = -3$. Так как мы рассматриваем случай $x < 0$, то единственное решение — $x = -3$.

Таким образом, корни уравнения $x|x| = 3x$ — это $x = 3$ и $x = -3$.

2.2) Уравнение $x|x| = -4|x|$

Аналогично рассмотрим два случая.

• Если $x > 0$, то $|x| = x$. Подставим в уравнение:

  $$x \cdot x = -4x \quad \Rightarrow \quad x^2 = -4x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 4) = 0.$$