Найдите общий вид первообразных для функций. а)f(x)=5x-1; б)f(x)=x³+ sin x; в)f(x)4/x⁴

Для того чтобы найти общий вид первообразных для данных функций, нам нужно найти неопределённые интегралы каждой из них. Рассмотрим их по очереди:

а) $f(x) = 5x - 1$

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, используем стандартные правила интегрирования:

• Интеграл от $5x$ равен $\frac{5x^2}{2}$.

• Интеграл от $-1$ равен $-x$.

Таким образом, общая первообразная для функции $f(x) = 5x - 1$ имеет вид:

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

б) $f(x) = x^3 + \sin(x)$

Применяем правила интегрирования для каждого члена функции:

• Интеграл от $x^3$ равен $\frac{x^4}{4}$.

• Интеграл от $\sin(x)$ равен $-\cos(x)$.

Таким образом, общая первообразная для функции $f(x) = x^3 + \sin(x)$ имеет вид:

в) $f(x) = \frac{4}{x^4}$

Для нахождения первообразной, можно переписать выражение в виде степени:

Теперь интегрируем:

• Интеграл от $4x^{-4}$ равен $\frac{4}{-3}x^{-3} = -\frac{4}{3x^3}$.

Таким образом, общая первообразная для функции $f(x) = \frac{4}{x^4}$ имеет вид:

Подведя итог, общий вид первообразных для данных функций:

1. $f(x) = 5x - 1$: $F(x) = \frac{5x^2}{2} - x + C$

2. $f(x) = x^3 + \sin(x)$: $F(x) = \frac{x^4}{4} - \cos(x) + C$

3. $f(x) = \frac{4}{x^4}$: $F(x) = -\frac{4}{3x^3} + C$