При встрече n друзей обменялись рукопожатиями. Определите число рукопожатий.

Когда встречаются $n$ друзей, каждый из них может пожать руку каждому другому. Чтобы посчитать общее количество рукопожатий, можно воспользоваться комбинаторикой.

Каждое рукопожатие включает два человека, и нас интересуют все возможные пары друзей, которые могут пожать друг другу руку. Количество таких пар можно посчитать с помощью формулы сочетаний:

Здесь $C(n, 2)$ — это количество способов выбрать 2 человека из $n$ (что и соответствует одному рукопожатию). Формула показывает, что для каждого друга можно пожать руку с каждым из оставшихся $n-1$ друзей, но так как рукопожатие между двумя людьми не зависит от того, кто первый, а кто второй, нужно разделить на 2, чтобы не посчитать одно и то же рукопожатие дважды.

Таким образом, число рукопожатий при встрече $n$ друзей будет равно $\frac{n(n-1)}{2}$.