В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН - высота, АВ = 16, синус А = 3/4. Найдите АН.

Т.к. ∠C = 90°, АВ — гипотенуза. Дано: AB = 16, $\sin A = \frac{3}{4}$.

1. $\sin A = \frac{BC}{AB}$ ⇒ $BC = AB \cdot \sin A = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$.

2. $\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt7}{4}$.
   Тогда $AC = AB \cdot \cos A = 16 \cdot \frac{\sqrt7}{4} = 4\sqrt7$.

3. Высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$. Из подобия прямоугольных треугольников известно:

Подставляем:

Ответ: $AH = 7$.