Корень из 5х + 11 >x + 3

Рассмотрим неравенство:

Шаг 1: Условие существования корня

Корень квадратный из выражения существует только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. То есть, для выражения $\sqrt{5x + 11}$ подкоренное выражение $5x + 11$ должно быть больше или равно нулю:

Решим это неравенство:

Таким образом, $x$ должно быть больше или равно $-\frac{11}{5}$, чтобы корень существовал.

Шаг 2: Избавление от корня

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части неравенства в квадрат. Однако важно помнить, что при возведении неравенства в квадрат мы должны учитывать, что знак неравенства может измениться, если обе части выражения отрицательны. Но для данного неравенства обе части положительные, так что можем смело возводить в квадрат:

Получаем:

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем правую часть:

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

Упростим:

Шаг 5: Решение квадратного неравенства

Решаем квадратное неравенство:

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Значит, неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется на интервале $(-2, 1)$.

Шаг 6: Учет области определения

Как мы уже выяснили, корень существует при $x \geq -\frac{11}{5}$, что примерно равно $-2.2$. Таким образом, мы должны учитывать пересечение интервала $(-2, 1)$ с областью определения $[-2.2, \infty)$.

Пересечение этих двух интервалов дает нам интервал:

Ответ

Неравенство $\sqrt{5x + 11} > x + 3$ выполняется при $x \in \left[-2, 1\right)$.