Найдите количество членов арифметической прогрессии, в которой \( a_3 = 8 \), \( a_4 = 5 \), \( S_n = 28 \).

Для нахождения количества членов арифметической прогрессии, в которой $a_3 = 8$, $a_4 = 5$, $S_n = 28$, будем использовать несколько формул арифметической прогрессии.

1. Определим разность прогрессии.

Зная, что $a_4 = 5$ и $a_3 = 8$, мы можем вычислить разность прогрессии $d$, используя формулу для $n$-го члена прогрессии:

Разность между $a_4$ и $a_3$:

Подставим известные значения:

Таким образом, разность прогрессии $d = -3$.

2. Найдем первый член прогрессии $a_1$.

Используя значение $a_3 = 8$, можем выразить $a_1$ через $d$:

Подставим известные значения:

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 14$.

3. Используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Зная, что $S_n = 28$, $a_1 = 14$ и $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, подставляем все известные значения:

Упростим выражение для $a_n$:

Теперь подставим это в формулу для суммы:

Умножим обе стороны на 2:

Раскроем скобки:

Теперь раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$