Решите уравнения:tgx-4ctgx=3

Для решения уравнения $\tan x - 4 \cdot \cot x = 3$, сначала выразим $\cot x$ через $\tan x$, поскольку $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Это упростит задачу.

Итак, исходное уравнение:

Заменим $\cot x$ на $\frac{1}{\tan x}$:

Теперь умножим обе части уравнения на $\tan x$, чтобы избавиться от дроби:

Переносим все элементы в одну сторону уравнения:

Получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$. Решим его по формуле для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. $\tan x = \frac{3 + 5}{2} = 4$

2. $\tan x = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Теперь найдем значения $x$, при которых $\tan x = 4$ и $\tan x = -1$.

1. Когда $\tan x = 4$, $x = \arctan 4$. Общее решение для $\tan x = 4$ имеет вид:

2. Когда $\tan x = -1$, $x = \arctan (-1)$, что даёт решение $x = -\frac{\pi}{4}$. Общее решение для $\tan x = -1$ имеет вид:

Итак, все решения уравнения $\tan x - 4 \cdot \cot x = 3$ могут быть записаны как: