Решить уравнение \(4^x + 2^{x+1} = 80\).

Для решения уравнения $4^x + 2^{x+1} = 80$, начнем с того, что выразим все степени через основание 2.

1. Поскольку $4 = 2^2$, то $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

   Тогда уравнение превращается в:

   $$2^{2x} + 2^{x+1} = 80.$$

2. Заметим, что $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Подставляем это в уравнение:

   $$2^{2x} + 2 \cdot 2^x = 80.$$

3. Введем замену. Пусть $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = y^2$. Уравнение принимает вид:

   $$y^2 + 2y = 80.$$

4. Перепишем уравнение как квадратное:

   $$y^2 + 2y - 80 = 0.$$

5. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324.$$

6. Извлекаем корень из дискриминанта:

   $$\sqrt{324} = 18.$$

7. Находим корни уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 18}{2}.$$

   Это дает два значения:

   $$y_1 = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8,$$ $$y_2 = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10.$$

8. Поскольку $y = 2^x$, а $2^x$ всегда положительно, отрицательное значение y_2 = -10 \ не подходит. Оставляем только \( y_1 = 8.

9. Теперь решаем для $x$, подставив $y = 8$:

   $$2^x = 8.$$

10. Замечаем, что $8 = 2^3$, поэтому:

Таким образом, решение уравнения $4^x + 2^{x+1} = 80$ — это $x = 3$.