решите уравнение х^6=-64

Для решения уравнения $x^6 = -64$, сначала представим $-64$ в комплексной форме. Мы знаем, что $-64 = 64 \cdot (-1)$. Число $-1$ можно записать в полярной форме как $e^{i\pi}$ (по формуле Эйлера). Таким образом, $-64$ можно записать как:

Теперь у нас есть уравнение:

Нам нужно найти корни этого уравнения, то есть найти $x$, такие что $x^6 = 64 \cdot e^{i\pi}$. Для этого выразим $x$ в полярной форме. Пусть:

Тогда:

Сравнив это с правой частью уравнения $64 \cdot e^{i\pi}$, получаем систему:

Первое уравнение $r^6 = 64$ дает:

Второе уравнение $6\theta = \pi + 2k\pi$ позволяет найти значения $\theta$:

Для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ получаем следующие значения $\theta$:

Таким образом, все решения уравнения $x^6 = -64$ в комплексной плоскости можно записать в виде:

Перепишем решения в явном виде:

• $x_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = \sqrt{3} + i$

• $x_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2i$

• $x_2=2(\cos \frac{5\pi }{6}$