Найдите наименьшее натуральное число \( n \), при котором число \( (n^2 + n)(n^2 + 5n + 6) \) делится на 2000.

Рассмотрим выражение

Разложим множители:

Тогда всё выражение равно произведению четырёх последовательных натуральных чисел:

Нужно, чтобы это произведение делилось на

То есть в разложении произведения должно быть как минимум 4 двойки и как минимум 3 пятёрки.

1) Условие на пятёрки (самое жёсткое)

В любых четырёх последовательных числах кратных 5 может быть не больше одного (потому что кратные 5 идут через 5).

Значит, все множители 5 (а их нужно три!) должны прийти из одного-единственного числа среди $n,n+1,n+2,n+3$.
Чтобы получить $5^3$, это число должно делиться на $125$.

Следовательно, среди $n,n+1,n+2,n+3$ обязательно должно быть число $125$ (самое маленькое кратное 125).

Это даёт варианты минимальных $n$, при которых в четвёрке появляется 125:

• $n=122$: $122,123,124,125$

• $n=123$: $123,124,125,126$

• $n=124$: $124,125,126,127$

• $n=125$: $125,126,127,128$

Все меньшие $n$ не подходят автоматически, потому что тогда среди четырёх чисел нет кратного $125$, а значит не набрать $5^3$.

2) Проверим условие на двойки для этих кандидатов

Нужно набрать минимум $2^4$, то есть суммарно хотя бы 4 множителя 2.

$n=122$: числа $122,123,124,125$

• $122=2\cdot 61$ даёт $2^1$

• $123$ нечётное

• $124=4\cdot 31$ даёт $2^2$

• $125$ нечётное

Итого по двойкам: $1+2=3$, то есть только $2^3$. Не хватает одной двойки, значит не делится на 2000.

$n=123$: числа $123,124,125,126$

• $124$ даёт $2^2$

• $126=2\cdot 63$ даёт $2^1$

Итого снова $2^{2+1}=2^3$. Не хватает, не подходит.

$n=124$: числа $124,125,126,127$

• $124$ даёт $2^2$

• $126$ даёт $2^1$

Итого опять $2^3$. Не подходит.

$n=125$: числа $125,126,127,128$

• $125=5^3$ — ровно то, что нужно по пятёркам

• $126=2\cdot 63$ даёт $2^1$

• $128=2^7$ даёт $2^7$

Итого по двойкам минимум $1+7=8$, то есть $2^8$, точно хватает.

Значит произведение $125\cdot 126\cdot 127\cdot 128$ делится на $2^4\cdot 5^3=2000$.

Ответ

Наименьшее натуральное число $n$, при котором $(n^2+n)(n^2+5n+6)$ делится на 2000, равно