Дан треугольник ABC. На биссектрисе угла A найти точку, равноудалённую от вершин B и C.

Искомая точка — это пересечение биссектрисы угла $A$ с серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Построение.

1. Найдите середину $M$ отрезка $BC$.

2. Проведите через $M$ перпендикуляр к $BC$ — это серединный перпендикуляр.

3. Проведите из вершины $A$ биссектрису угла $A$.

4. Точка $P$ пересечения этих двух прямых и есть требуемая.

Почему это верно.
Любая точка на серединном перпендикуляре к $BC$ равноудалена от $B$ и $C$, то есть для такой точки $PB=PC$. Поэтому пересечение серединного перпендикуляра с биссектрисой угла $A$ даёт точку на биссектрисе, удовлетворяющую условию.

Замечание об особом случае.
Если треугольник равнобедренный с $AB=AC$, то вершина $A$ уже лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, и он совпадает с биссектрисой угла $A$. Тогда любая точка на этой прямой равноудалена от $B$ и $C$. В нерavnобедренном случае точка $P$ единственна.