Решите уравнение корень(5х-1+3х²)=3х

Чтобы решить уравнение $\sqrt{5x - 1 + 3x^2} = 3x$, давайте поэтапно решим его.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат:

   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$\left( \sqrt{5x - 1 + 3x^2} \right)^2 = (3x)^2$$

   Получаем:

   $$5x - 1 + 3x^2 = 9x^2$$

2. Упрощаем уравнение:

   Переносим все элементы в одну сторону:

   $$5x - 1 + 3x^2 - 9x^2 = 0$$

   Упрощаем:

   $$5x - 1 - 6x^2 = 0$$

3. Приводим уравнение к стандартному виду:

   Перепишем уравнение:

   $$-6x^2 + 5x - 1 = 0$$

   Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

   $$6x^2 - 5x + 1 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение:

   Для решения квадратного уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$ используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 6$, $b = -5$, и $c = 1$. Подставляем значения в формулу:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12}$$ $$x = \frac{5 \pm 1}{12}$$

5. Находим два возможных значения для $x$:

   • $x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

   • $x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

6. Проверяем возможные решения:

   Необходимо проверить, не приводит ли одно из найденных значений к противоречию с исходным уравнением, поскольку при возведении в квадрат мы могли потерять возможные ограничения.

   • Для $x = \frac{1}{2}$:
     Подставляем в исходное уравнение:

     $$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} - 1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2} = 3 \cdot \frac{1}{2}$$ $$\sqrt{\frac{5}{2} - 1 + 3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{3}{2}$$ $$\sqrt{\frac{5}{2} - \frac{2}{2} + \frac{3}{4}} = \frac{3}{2}$$