Решите неравенство: log₃(x² + 7x - 5) > 1

Для решения неравенства $\log_3(x^2 + 7x - 5) > 1$, начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Переводим логарифм в экспоненциальную форму.
   Напоминаем, что если $\log_a b = c$, то это эквивалентно $a^c = b$. В нашем случае:

   $$\log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \implies x^2 + 7x - 5 > 3^1.$$

   Это упрощается до:

   $$x^2 + 7x - 5 > 3.$$

2. Преобразуем неравенство.
   Вычитаем 3 из обеих сторон:

   $$x^2 + 7x - 5 - 3 > 0,$$

   что даёт:

   $$x^2 + 7x - 8 > 0.$$

3. Решаем квадратное неравенство.
   Для решения неравенства $x^2 + 7x - 8 > 0$ находим корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ с помощью формулы discriminant:

   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = -8.$$

4. Анализируем знаки.
   Квадратное неравенство $x^2 + 7x - 8 > 0$ можно разложить как $(x - 1)(x + 8) > 0$. Теперь нужно определить, для каких значений $x$ произведение $(x - 1)(x + 8)$ больше нуля. Это выражение будет положительным в интервалах:

   $$x < -8 \quad \text{или} \quad x > 1.$$

5. Учитываем область определения.
   Для того чтобы логарифм был определён, выражение $x^2 + 7x - 5$ должно быть положительным:

   $$x^2 + 7x - 5 > 0.$$

   Находим корни квадратного уравнения $x^2 + 7x - 5 = 0$:

   $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 49 + 20 = 69,$$ $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}.$$

   Приближённо:

   $$x_1 \approx \frac{-7 + 8.31}{2} \approx 0.655, \quad x_2 \approx \frac{-7 - 8.31}{2} \approx -7.655.$$

   Таким образом, выражение $x^2 + 7x - 5$ положительно для $x < -7.655$ или $x > 0.655$.

6. Объединяем условия.
   Мы ищем значения $x$