В параллелограмме ABCD AK — биссектриса угла A. BK=5, CK=3. Найдите периметр параллелограмма.

Для решения задачи нужно использовать несколько свойств параллелограмма и биссектрисы.

1. В параллелограмме ABCD, в котором AK — биссектриса угла A, биссектрисы делят противоположные стороны параллелограмма пропорционально прилегающим сторонам. То есть, если AK — биссектриса угла A, то:

   $$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AD}$$

2. Из условия задачи известно, что $BK = 5$ и $CK = 3$. Следовательно:

   $$\frac{5}{3} = \frac{AB}{AD}$$

   Таким образом, стороны AB и AD параллелограмма находятся в пропорции 5:3.

3. Пусть $AB = 5x$, а $AD = 3x$, где $x$ — некоторое число, которое определяет масштаб этих сторон.

4. Теперь, поскольку параллелограмм имеет противоположные стороны, то $BC = AB = 5x$ и $CD = AD = 3x$.

5. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:

   $$P = 2(AB + AD) = 2(5x + 3x) = 2 \times 8x = 16x$$

6. Чтобы найти $x$, обратимся к биссектрисе. Мы знаем, что точка K делит сторону BC в пропорции 5:3, и это отношение равно пропорции сторон AB и AD. Из этого следует, что:

   $$5 + 3 = 8 \quad \text{(сумма частей, на которые делится BC)}$$

   Таким образом, $BC = 8x$.

7. Для нахождения точного значения $x$ можно решить задачу, учитывая дополнительную информацию. Однако, в общем случае, учитывая установленные пропорции, периметр параллелограмма равен:

   $$\boxed{16}$$