Как сравнить дробь с единицей?

Коротко: сравни числитель и знаменатель.

Пусть дана дробь $\dfrac{a}{b}$.

1) Если $b>0$ (обычный случай)

• Если $a>b$, то $\dfrac{a}{b}>1$ (неправильная дробь).

• Если $a=b$, то $\dfrac{a}{b}=1$.

• Если $a$, то $\dfrac{a}{b}<1$ (правильная дробь).

Это эквивалентно сравнению $\dfrac{a}{b}$ с 1 по правилу перекрёстного умножения:
$\dfrac{a}{b} \ ? \ 1 \iff a \ ? \ b$ (знак «?» тот же, что и при сравнении $a$ и $b$, потому что умножаем на положительный $b$).

2) Если $b<0$

Сначала удобнее поменять знак у числителя и знаменателя:
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{-b}$ со знаменателем $>0$, и применить правило из пункта 1.
Либо помнить, что при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$\dfrac{a}{b} \ ? \ 1 \iff a \ \underline{\text{(меняем знак)}}\ b$.

3) Быстрый способ через разность

Посмотреть на $\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}$:

• Если $b>0$ и $a-b>0$ → дробь $>1$.

• Если $b>0$ и $a-b=0$ → дробь $=1$.

• Если $b>0$ и $a-b<0$ → дробь $<1$.
  (При $b<0$ знак итоговой разности меняется — см. пункт 2.)

4) Знаки и особые случаи

• Любая отрицательная дробь всегда $<1$ (и вообще $<0$).

• Любая положительная дробь с числителем меньше знаменателя $<1$.

• Ноль: $\dfrac{0}{b}=0<1$ при $b\neq0$.

• Деление на ноль ($b=0$) не определено — сравнивать нельзя.

Примеры

• $\dfrac{7}{5}$: $7>5$ ⇒ $>1$.

• $\dfrac{12}{12}$: $12=12$ ⇒ $=1$.

• $\dfrac{3}{8}$: $3<8$ ⇒ $<1$.

• $\dfrac{-5}{2}$: число отрицательное ⇒ $<1$.

• $\dfrac{9}{-4}=\dfrac{-9}{4}$: отрицательное ⇒ $<1$.

Итого: для положительного знаменателя просто сравни $a$ и $b$; при отрицательном — сначала сделай знаменатель положительным или учти смену знака неравенства.