Найдите sin2x, если cosx=3/5 и принадлежит (0;p/2)

Для того чтобы найти $\sin(2x)$, если $\cos(x) = \frac{3}{5}$ и $x$ принадлежит промежутку $(0, \frac{\pi}{2})$, нужно воспользоваться следующими шагами:

1. Используем формулу для $\sin(2x)$:

   $$\sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$$

   Мы знаем $\cos(x) = \frac{3}{5}$, но нам нужно найти $\sin(x)$.

2. Найдем $\sin(x)$ с помощью теоремы Пифагора.

   Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна 5, а катет $\cos(x) = \frac{3}{5}$, можем найти второй катет $\sin(x)$:

   $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

   Подставляем $\cos(x) = \frac{3}{5}$:

   $$\sin^2(x) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2(x) + \frac{9}{25} = 1$$ $$\sin^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin(x) = \frac{4}{5}$$

   Мы взяли положительное значение, потому что $x$ лежит в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и там синус положителен.

3. Теперь можем найти $\sin(2x)$:

   Подставляем значения $\sin(x) = \frac{4}{5}$ и $\cos(x) = \frac{3}{5}$ в формулу для $\sin(2x)$:

   $$\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}$$ $$\sin(2x) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$$

Ответ: $\sin(2x) = \frac{24}{25}$.