Найдите НОК и НОД чисел 45 и 75; 22 и 41; 320 и 750; 22 и 66; 40, 54 и 20.

Для того чтобы найти НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел, воспользуемся двумя основными понятиями:

1. НОД чисел — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.

2. НОК чисел — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Рассмотрим каждый случай:

1. Числа 45 и 75:

• НОД(45, 75) находим через разложение чисел на простые множители:

  • 45 = 3² × 5

  • 75 = 3 × 5²

  • НОД(45, 75) = 3 × 5 = 15.

• НОК(45, 75) находим, используя формулу:
  $\text{НОК} = \frac{45 \times 75}{\text{НОД}(45, 75)} = \frac{45 \times 75}{15} = 225.$

2. Числа 22 и 41:

• НОД(22, 41) так как 22 и 41 взаимно простые (то есть у них нет общих делителей, кроме 1):

  • НОД(22, 41) = 1.

• НОК(22, 41) находим через формулу:
  $\text{НОК} = \frac{22 \times 41}{\text{НОД}(22, 41)} = \frac{22 \times 41}{1} = 902.$

3. Числа 320 и 750:

• НОД(320, 750) находим через разложение чисел на простые множители:

  • 320 = 2⁵ × 5

  • 750 = 2 × 3 × 5²

  • НОД(320, 750) = 2 × 5 = 10.

• НОК(320, 750) находим, используя формулу:
  $\text{НОК} = \frac{320 \times 750}{\text{НОД}(320, 750)} = \frac{320 \times 750}{10} = 24 000.$

4. Числа 22 и 66:

• НОД(22, 66) находим через разложение чисел на простые множители:

  • 22 = 2 × 11

  • 66 = 2 × 3 × 11

  • НОД(22, 66) = 2 × 11 = 22.

• НОК(22, 66) находим, используя формулу:
  $\text{НОК} = \frac{22 \times 66}{\text{НОД}(22, 66)} = \frac{22 \times 66}{22} = 66.$

5. Числа 40, 54 и 20:

• НОД(40, 54, 20) находим поэтапно:

  • НОД(40, 54) = 2² × 5 = 10

  • НОД(10, 20) = 10

  • НОД(40, 54, 20) = 10.

• НОК(40, 54, 20) находим поэтапно:

  • НОК(40, 54) = $\frac{40 \times 54}{\text{НОД}(40, 54)} = \frac{40 \times 54}{2} = 1080$

  • НОК(1080, 20) = $\frac{1080 \times 20}{\text{НОД}(1080, 20)} = \frac{1080 \times 20}{20} = 1080$

  • НОК(40, 54, 20) = 1080.

Ответ:

• НОД(45, 75) = 15, НОК(45, 75) = 225.

• НОД(22, 41) = 1, НОК(22, 41) = 902.

• НОД(320, 750) = 10, НОК(320, 750) = 24 000.

• НОД(22, 66) = 22, НОК(22, 66) = 66.

• НОД(40, 54, 20) = 10, НОК(40, 54, 20) = 1080.