Найти точки экстремума и определить их характер: y = x³ + 3x² + 4

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^3 + 3x^2 + 4$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции:

   $$y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 4) = 3x^2 + 6x$$

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся при $y' = 0$:

   $$3x^2 + 6x = 0$$

   Разделим обе стороны на 3:

   $$x^2 + 2x = 0$$

   Выделим общий множитель:

   $$x(x + 2) = 0$$

   Из этого уравнения получаем два корня:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2$$

   Таким образом, критические точки — это $x = 0$ и $x = -2$.

3. Найдем вторую производную функции, чтобы определить характер экстремумов:

   $$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x) = 6x + 6$$

4. Проверим характер экстремумов в точках $x = 0$ и $x = -2$.

   • Для $x = 0$:

     $$y''(0) = 6(0) + 6 = 6$$

     Так как $y''(0) > 0$, то точка $x = 0$ является точкой минимума.

   • Для $x = -2$:

     $$y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6$$

     Так как $y''(-2) < 0$, то точка $x = -2$ является точкой максимума.

Ответ:

• Точка экстремума в $x = 0$ — это точка минимума.

• Точка экстремума в $x = -2$ — это точка максимума.