Решите уравнение: 19 * 4^(x) - 5 * 2^(x+2) + 1 = 0

Для того чтобы решить уравнение $19 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0$, начнем с того, что упростим выражения, используя свойства степеней.

1. Запишем $4^x$ через $2^x$, так как $4 = 2^2$:

   $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$19 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0$$

2. Теперь упростим второй член, $2^{x+2}$. Мы можем выразить его как:

   $$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$19 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 4 \cdot 2^x + 1 = 0$$

   Упростим:

   $$19 \cdot 2^{2x} - 20 \cdot 2^x + 1 = 0$$

3. Теперь сделаем замену для удобства. Пусть $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = y^2$, и уравнение примет вид:

   $$19 \cdot y^2 - 20 \cdot y + 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $y$.

4. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

   $$y = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 1}}{2 \cdot 19}$$ $$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 76}}{38}$$ $$y = \frac{20 \pm \sqrt{324}}{38}$$ $$y = \frac{20 \pm 18}{38}$$

5. Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{20 + 18}{38} = \frac{38}{38} = 1$$ $$y_2 = \frac{20 - 18}{38} = \frac{2}{38} = \frac{1}{19}$$

6. Теперь возвращаемся к переменной $x$, помня, что $y = 2^x$. Рассмотрим оба случая:

   • Для $y_1 = 1$, получаем $2^x = 1$, что означает $x = 0$.

   • Для $y_2 = \frac{1}{19}$, получаем $2^x = \frac{1}{19}$, что можно записать как $x = \log_2\left(\frac{1}{19}\right) = -\log_2(19)$.

Итак, решение уравнения: $x = 0$ или $x = -\log_2(19)$.