Дана функция у = х² - 2х - 8. Найти: 1) множество значений х, при которых значения функции положительны; 2) промежуток, на котором функция убывает; 3) область значений функции.

Рассмотрим функцию

1) При каких $x$ функция положительна ($y>0$)

Решаем неравенство:

Найдём корни уравнения $x^2-2x-8=0$:

Отсюда:

Парабола $y=x^2-2x-8$ ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), значит выражение положительно вне корней:

Ответ: $\;(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$.

2) Промежуток, на котором функция убывает

Для квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ вершина имеет абсциссу:

Здесь $a=1,\; b=-2$, значит:

Поскольку ветви вверх, функция убывает до вершины, то есть на:

Ответ: $\;(-\infty,1)$.

3) Область значений функции

Найдём значение функции в вершине (это минимум, так как $a>0$):

Минимальное значение равно $-9$, значит область значений:

Ответ: $\;[-9,+\infty)$.