Решить неравенство: |x-2|<3

Чтобы решить неравенство с абсолютной величиной $|x - 2|$, необходимо учитывать определение абсолютной величины. Абсолютная величина числа $a$ (обозначается как $|a|$) равна $a$, если $a \geq 0$, и $-a$, если $a < 0$.

Рассмотрим, что это означает для неравенства $|x - 2|$:

1. Разбираем по определению абсолютной величины:

Абсолютная величина выражения $|x - 2|$ обозначает расстояние между числом $x$ и числом 2 на числовой оси. Это выражение будет равно:

В зависимости от того, какое неравенство стоит перед $|x - 2|$, решение будет зависеть от того, какой случай из двух выше применим.

2. Рассмотрим два возможных случая:

a) Если неравенство вида $|x - 2| \leq a$, где $a \geq 0$:

Для того, чтобы решить это неравенство, нужно рассматривать два случая:

1. $x - 2 \leq a$, если $x \geq 2$

2. $2 - x \leq a$, если $x < 2$

Каждое из этих неравенств можно решить по отдельности:

1. Если $x \geq 2$, неравенство $x - 2 \leq a$ преобразуется в $x \leq a + 2$, то есть $x$ должно быть в интервале от 2 до $a + 2$.

2. Если $x < 2$, неравенство $2 - x \leq a$ преобразуется в $x \geq 2 - a$, то есть $x$ должно быть в интервале от $2 - a$ до 2.

Таким образом, решение для $|x - 2| \leq a$ будет:

b) Если неравенство вида $|x - 2| \geq a$, где $a \geq 0$:

Здесь тоже следует рассматривать два случая:

1. $x - 2 \geq a$, если $x \geq 2$

2. $2 - x \geq a$, если $x < 2$

Для первого случая, $x - 2 \geq a$, преобразуется в $x \geq a + 2$.
Для второго случая, $2 - x \geq a$, преобразуется в $x \leq 2 - a$.

Таким образом, решение для $|x - 2| \geq a$ будет:

3. Итог:

• Если неравенство вида $|x - 2| \leq a$, то решение: $2 - a \leq x \leq a + 2$.

• Если неравенство вида $|x - 2| \geq a$, то решение: $x \leq 2 - a$ или $x \geq a + 2$.