Найдите наименьшее значение функции y = 56cosx + 59x + 42 на отрезке [0; 3π/2].

Ответы на вопрос

Отвечает Мушенко Георгий.

Рассмотрим функцию

y(x)=56\cos x+59x+42,\qquad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].

1) Найдём производную и проверим критические точки

y'(x)=\frac{d}{dx}\left(56\cos x+59x+42\right)=-56\sin x+59.

Критические точки возможны там, где $y'(x)=0$ :

-56\sin x+59=0 \;\Longrightarrow\; \sin x=\frac{59}{56}.

Но $\frac{59}{56}>1$ , а значение $\sin x$ для любых $x$ всегда лежит в диапазоне $[-1;1]$ . Значит, уравнение $\sin x=\frac{59}{56}$ решений не имеет, то есть на отрезке нет внутренних критических точек.

2) Определим монотонность функции

Поскольку $\sin x\in[-1;1]$ , то выражение $-56\sin x$ лежит в пределах:

-56\sin x\in[-56\cdot 1,\,-56\cdot(-1)]=[-56,\;56].

Тогда

y'(x)=-56\sin x+59 \in [-56+59,\;56+59]=[3,\;115].

То есть для всех $x$ на отрезке выполняется:

y'(x)\ge 3>0.

Следовательно, функция $y(x)$ строго возрастает на всём $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$ .

3) Где достигается минимум

Если функция строго возрастает на отрезке, то её наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, то есть при $x=0$ .

Посчитаем:

y(0)=56\cos 0+59\cdot 0+42=56\cdot 1+0+42=98.

Ответ

Наименьшее значение функции на отрезке $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$ равно

\boxed{98}.

Последние заданные вопросы в категории Математика