Упростите выражение sinx+sin2x+sin3x+sin4x

Для упрощения выражения $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x$ можно воспользоваться формулами приведения и сложения синусов. Применим их пошагово.

Сначала разбиение на два выражения:

Теперь применим формулы суммы синусов для каждой пары:

1. Для $\sin x + \sin 4x$ используется формула:

Таким образом:

2. Для $\sin 2x + \sin 3x$ аналогично:

Теперь подставим эти результаты в исходное выражение:

Вынесем общий множитель $2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right)$:

Используем формулу суммы косинусов:

Подставляем в наше выражение:

Упростим:

Таким образом, окончательное выражение будет: