Упростите выражение sinx+sin2x+sin3x+sin4x

Ответы на вопрос

Отвечает Колтунова Валерия.

Для упрощения выражения $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x$ можно воспользоваться формулами приведения и сложения синусов. Применим их пошагово.

Сначала разбиение на два выражения:

\sin x + \sin 4x + \sin 2x + \sin 3x

Теперь применим формулы суммы синусов для каждой пары:

\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)

Таким образом:

\sin x + \sin 4x = 2 \sin\left(\frac{x + 4x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{4x - x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3x}{2}\right)

\sin 2x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{2x + 3x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3x - 2x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)

Теперь подставим эти результаты в исходное выражение:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3x}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)

Вынесем общий множитель $2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right)$ :

2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{3x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)

Используем формулу суммы косинусов:

\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)

Подставляем в наше выражение:

\cos\left(\frac{3x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{3x/2 + x/2}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3x/2 - x/2}{2}\right)

Упростим:

2 \cos\left(\frac{4x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cos(2x) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)

Таким образом, окончательное выражение будет:

2 \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot 2 \cos(2x) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)

Похожие вопросы

Ответы на вопрос