Имеет ли целые корни уравнение \(26x^4 + 13x^2 - 65x - 7 = 0\)?

Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень $x=r$, то он автоматически является рациональным корнем, а значит к нему применима теорема о рациональных корнях.

Рассмотрим уравнение

1) Какие целые корни вообще возможны?

По теореме о рациональных корнях: если $\dfrac{p}{q}$ (в несократимом виде) — рациональный корень, то

• $p$ делит свободный член $-7$,

• $q$ делит старший коэффициент $26$.

Если корень целый, то $q=1$, значит возможные целые корни обязаны делить $-7$. То есть кандидатами остаются только:

2) Проверим кандидатов подстановкой

Обозначим

1) $x=1$:

2) $x=-1$:

3) $x=7$:

Здесь $7^2=49$, $7^4=2401$, поэтому

4) $x=-7$:

3) Вывод

Единственные возможные целые корни $\pm 1,\pm 7$ не обращают многочлен в ноль. Значит, целых корней уравнение не имеет.