sin2x = tgx решите уравнение

Рассмотрим уравнение $\sin(2x) = \tan(x)$.

1. Применим тригонометрические формулы:

   • Формула для $\sin(2x)$ — $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

   • Формула для $\tan(x)$ — $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$2\sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

3. Переносим все на одну сторону:

   $$2\sin(x)\cos(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$$

4. Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{2\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x)}{\cos(x)} = 0$$

5. Решаем числитель:

   Числитель равен нулю, если:

   $$2\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x) = 0$$

6. Вынесем $\sin(x)$ за скобки:

   $$\sin(x)(2\cos^2(x) - 1) = 0$$

7. Получаем два случая:

   • $\sin(x) = 0$

   • $2\cos^2(x) - 1 = 0$

1-й случай: $\sin(x) = 0$

Решения этого уравнения:

2-й случай: $2\cos^2(x) - 1 = 0$

Преобразуем уравнение:

Отсюда:

Решения для $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ дают:

Таким образом, решения уравнения $\sin(2x) = \tan(x)$ — это: