Выделите полный квадрат из многочлена 1) X²+6x+1. 2) a²-1+5a. 3) 4+p².

Для выделения полного квадрата из каждого многочлена необходимо преобразовать его так, чтобы он принимал вид $(x + p)^2$ или $(x - p)^2$, где $p$ — это какое-то число. Рассмотрим каждый случай.

1. $X^2 + 6x + 1$
   Для выделения полного квадрата из многочлена $X^2 + 6x + 1$ нужно представить его в виде квадрата двучлена. Начнем с выделения квадратного выражения.

   1. Квадратный член уже есть — это $X^2$.

   2. Половина коэффициента при $x$ (это 6) — это 3. Возводим его в квадрат: $3^2 = 9$.

   3. Таким образом, $X^2 + 6x$ можно представить как $(X + 3)^2$, но для этого нужно добавить еще $9$, а в оригинальном выражении есть $1$. Поэтому разница между ними — это $9 - 1 = 8$.
      Итак, окончательно получаем:

   $$X^2 + 6x + 1 = (X + 3)^2 - 8$$

2. $a^2 - 1 + 5a$
   В этом случае действуем аналогично.

   1. Квадратный член — это $a^2$.

   2. Половина коэффициента при $a$ (это 5) — это $\frac{5}{2}$. Возводим его в квадрат: $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$.

   3. Таким образом, $a^2 + 5a$ можно представить как $\left(a + \frac{5}{2}\right)^2$, но нужно добавить $\frac{25}{4}$ вместо $-1$, то есть разница будет $\frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}$.
      Окончательно получаем:

   $$a^2 + 5a - 1 = \left(a + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4}$$

3. $4 + p^2$
   Здесь все проще, так как квадратичный член уже есть.

   1. Квадратный член — это $p^2$.

   2. Для выделения полного квадрата нужно добавить $0$ к $p^2$, чтобы получить выражение вида $(p + 0)^2$.

   3. Окончательно:

   $$p^2 + 4 = (p + 2)^2 - 4$$

Таким образом, выделенные полные квадраты для каждого из многочленов:

1. $X^2 + 6x + 1 = (X + 3)^2 - 8$

2. $a^2 + 5a - 1 = \left(a + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{21}{4}$

3. $p^2 + 4 = (p + 2)^2 - 4$