Cos x < √2/2. Как решить неравенство?

Неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно решить следующим образом:

1. Начнем с того, что $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Это значение является стандартным для углов в тригонометрии.

2. Известно, что $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Это ключевые углы, где косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Теперь рассмотрим, где $\cos x$ меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для этого нужно понять, в каких промежутках функции косинус значение будет меньше этого числа.

Косинус функции является убывающей на интервале от $0$ до $\pi$ и возрастающей на интервале от $\pi$ до $2\pi$. Таким образом:

• Для $0 \leq x \leq \pi$, $\cos x$ будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right)$.

• Для $\pi \leq x \leq 2\pi$, косинус снова будет меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$.

4. Период косинуса — $2\pi$, то есть решение неравенства будет повторяться каждые $2\pi$.

5. Таким образом, общее решение неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет:

   $$x \in \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \right),$$

где $k$ — любое целое число.

Это и есть решение неравенства.