Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом, рассмотрим два случая:

1. Число чётное.

   Пусть $n$ — чётное число. Тогда оно может быть записано как $n = 2k$, где $k$ — целое число. Теперь найдём сумму числа $n$ и его квадрата:

   $$n + n^2 = 2k + (2k)^2 = 2k + 4k^2 = 2(k + 2k^2)$$

   Видно, что сумма выражается как произведение числа 2 на некоторую целую величину $(k + 2k^2)$, а значит, эта сумма чётное число.

2. Число нечётное.

   Пусть $n$ — нечётное число. Тогда оно может быть записано как $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Найдём сумму числа $n$ и его квадрата:

   $$n + n^2 = (2k + 1) + (2k + 1)^2 = 2k + 1 + (4k^2 + 4k + 1) = 2k + 1 + 4k^2 + 4k + 1 = 4k^2 + 6k + 2$$

   Здесь мы видим, что сумма тоже выражается как произведение числа 2 на целое число $(2k^2 + 3k + 1)$, что также означает, что сумма чётное число.

Таким образом, в обоих случаях, когда число чётное или нечётное, сумма числа и его квадрата оказывается чётным числом.