Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Докажем, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$ — боковые стороны, а $BC$ — основание. Пусть из вершин $B$ и $C$ проведены высоты на основание $BC$, и эти высоты обозначим как $h_B$ и $h_C$.

1. Симметрия равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике стороны $AB$ и $AC$ равны, а угол при основании $\angle ABC = \angle ACB$. Это означает, что треугольник обладает осевой симметрией относительно прямой, проходящей через вершину $A$ и середину основания $BC$.

2. Определение высот

Высоты треугольника — это отрезки, соединяющие вершины с основанием, перпендикулярные этому основанию. Таким образом, высоты $h_B$ и $h_C$ из вершин $B$ и $C$ будут перпендикулярны основанию $BC$.

3. Свойства симметрии

Так как треугольник равнобедренный, ось симметрии делит его пополам и перпендикулярно основанию $BC$. Поскольку высоты $h_B$ и $h_C$ проводят из симметричных вершин, каждая из них будет совпадать с симметричной относительно оси симметрии.

4. Доказательство равенства высот

Так как высоты $h_B$ и $h_C$ симметричны относительно оси симметрии, и каждая высота перпендикулярна основанию $BC$, то их длины будут одинаковыми, то есть $h_B = h_C$.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.