Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.

Для доказательства утверждения, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы, рассмотрим следующий подход.

Пусть $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине $A$, то есть угол $\angle A = 90^\circ$. Пусть $AB = AC = a$ — длины катетов, а гипотенуза $BC$ равна $\sqrt{2}a$ по теореме Пифагора, так как в прямоугольном треугольнике для равных катетов гипотенуза равна $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}a$.

Теперь, проведём высоту $AD$ из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $BC$, и пусть точка $D$ — это основание высоты на гипотенузе. Мы хотим доказать, что длина высоты $AD$ равна половине длины гипотенузы $BC$, то есть:

Для этого используем свойство, что в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла высота делит гипотенузу на два отрезка, при этом площади двух меньших прямоугольных треугольников, образующихся после разбиения, равны.

Площадь всего треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами. Сначала, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через высоту $AD$ и гипотенузу $BC$:

Приравняем два выражения для площади:

Умножим обе стороны на 2:

Разделим обе стороны на $\sqrt{2}a$:

Теперь сравним $AD$ с гипотенузой $BC$. Напоминаем, что гипотенуза равна $BC = \sqrt{2}a$. Мы видим, что:

Таким образом, доказано, что высота, проведённая из вершины прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике, действительно вдвое меньше гипотенузы.