Какое из этих чисел является одновременно и кубом, и квадратом некоторых целых чисел? а) 8 б) 27 в) 36 г) 64 д) 125

Число, которое одновременно является квадратом и кубом целого числа, должно быть степенью вида

То есть в разложении на простые множители все показатели степеней должны делиться и на 2, и на 3 одновременно, значит — на 6. Иными словами, такое число должно быть шестой степенью некоторого целого числа:

Проверим варианты:

а) 8

Показатель 3 не делится на 2 ⇒ это не квадрат.

б) 27

Показатель 3 не делится на 2 ⇒ это не квадрат.

в) 36

Показатели 2 делятся на 2, но не делятся на 3 ⇒ это квадрат, но не куб.

г) 64

Показатель 6 делится и на 2, и на 3 ⇒ это и квадрат, и куб.
Действительно:

д) 125

Показатель 3 не делится на 2 ⇒ это не квадрат.

Ответ: г) 64.