Найдите cos а, если tg a = 0,5 и a ∈ (-π/2; π/2)

Чтобы найти значение косинуса угла $a$, зная, что тангенс угла $a$ равен 0,5 и угол $a$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, можно воспользоваться основными тригонометрическими соотношениями.

1. Используем определение тангенса:
   Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

   По условию задачи $\tan a = 0,5$, то есть:

   $$\frac{\sin a}{\cos a} = 0,5$$

   Это можно записать как:

   $$\sin a = 0,5 \cos a$$

2. Используем основное тригонометрическое тождество:
   Существует тождество для любых углов:

   $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

   Подставим выражение для $\sin a$ из предыдущего шага:

   $$(0,5 \cos a)^2 + \cos^2 a = 1$$

   Упростим:

   $$0,25 \cos^2 a + \cos^2 a = 1$$

   Сложим подобные слагаемые:

   $$1,25 \cos^2 a = 1$$

   Разделим обе стороны на 1,25:

   $$\cos^2 a = \frac{1}{1,25} = 0,8$$

   Теперь найдём $\cos a$:

   $$\cos a = \pm \sqrt{0,8}$$ $$\cos a = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

3. Определяем знак косинуса:
   Учитывая, что $a \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то угол $a$ лежит в первом или четвёртом квадранте, где косинус положителен. Следовательно, $\cos a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\cos a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.