Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 16 партий, второй – 33. Сколько партий сыграл третий игрок?

Обозначим игроков как 1, 2, 3. Пусть всего сыграно $N$ партий.

1) Связь “сколько сыграл” и “сколько пропустил”

В каждой партии играют двое, третий пропускает. Значит игрок $i$ пропустил

партий, где $P_i$ — сколько он сыграл.

Дано:

• $P_1 = 16 \Rightarrow S_1 = N - 16$

• $P_2 = 33 \Rightarrow S_2 = N - 33$

• $P_3 = x \Rightarrow S_3 = N - x$

2) Как пропуски связаны с поражениями

По правилу: проигравший следующую партию пропускает (уступает место третьему).

Значит почти каждый пропуск “объясняется” тем, что игрок проиграл предыдущую партию. Но есть две тонкости:

1. Самая первая партия: кто-то в ней не участвовал, хотя до этого он ничего не проигрывал. То есть у одного игрока есть один “лишний” пропуск (стартовый).

2. Последняя партия: её проигравший должен был бы пропустить следующую партию, но её уже нет. То есть у одного игрока есть одно поражение без последующего пропуска.

Итого для каждого игрока:

где $L_i$ — число поражений игрока.

3) Ключевое ограничение для 1-го игрока

У игрока 1 число поражений не может превышать число сыгранных партий:

А $S_1 = N - 16$. Подставим в формулу:

где $a\in\{0,1\}$ — был ли игрок 1 стартовым “сидящим”, $b\in\{0,1\}$ — проиграл ли он последнюю партию.

Тогда условие $L_1 \le 16$ даёт:

Но при этом игрок 2 сыграл 33 партии, значит всего партий было как минимум 33:

Совместим:

• чтобы $N$ могло быть $\ge 33$, нужно $32 + a - b \ge 33$,
  то есть $a - b \ge 1$.
  Единственный вариант при $a,b\in\{0,1\}$: $a=1$, $b=0$.

Значит:

• игрок 1 не играл первую партию (стартовый пропуск),

• и игрок 1 не проиграл последнюю партию,
  а главное — тогда верхняя граница становится $N \le 33$.

Итак, одновременно $N \ge 33$ и $N \le 33$, значит:

4) Находим, сколько сыграл третий

В каждой партии участвуют двое, значит суммарно “участий” в партиях $2N$:

Ответ: третий игрок сыграл 17 партий.