Вычислить координаты точек пересечения парабол $ y = 3x^2 - 8x - 2 $ и $ y = x^2 - 4 $.

Ответы на вопрос

Отвечает Кузнецов Максим.

Для нахождения точек пересечения двух парабол нужно приравнять их уравнения. У нас есть два уравнения:

Приравняем их:

3x^2 - 8x - 2 = x^2 - 4

Переносим все элементы на одну сторону:

3x^2 - 8x - 2 - x^2 + 4 = 0

Упростим:

2x^2 - 8x + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Разделим обе стороны на 2, чтобы упростить:

x^2 - 4x + 1 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

Здесь $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 1$ . Подставим эти значения:

D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня. Находим их по формуле:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставим значения:

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}

Упростим:

x = 2 \pm \sqrt{3}

Таким образом, корни уравнения:

x_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{3}

Теперь найдем значения $y$ для этих $x$ . Подставим $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ в одно из исходных уравнений. Возьмем $y = x^2 - 4$ :

y_1 = (2 + \sqrt{3})^2 - 4 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 4 = 3 + 4\sqrt{3}

Теперь для $x_2 = 2 - \sqrt{3}$ :

y_2 = (2 - \sqrt{3})^2 - 4 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 4 = 3 - 4\sqrt{3}

Таким образом, координаты точек пересечения:

(2 + \sqrt{3}, 3 + 4\sqrt{3}) \quad \text{и} \quad (2 - \sqrt{3}, 3 - 4\sqrt{3})

Последние заданные вопросы в категории Математика

Вычислить координаты точек пересечения парабол \( y = 3x^2 - 8x - 2 \) и \( y = x^2 - 4 \).