В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 6 сентября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 9 сентября в Волшебной стране будет отличная погода.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. У нас есть два типа погоды: хорошая и отличная. Пусть $G$ обозначает хорошую погоду, а $E$ — отличную.

2. Исходная информация:

   • На 6 сентября погода в Волшебной стране хорошая, то есть $G_6 = G$.

   • Вероятность того, что погода завтра будет такой же, как и сегодня, составляет 0,7. Это означает, что вероятность того, что погода изменится, составляет 0,3.

3. Для удобства введем несколько вероятностей:

   • Пусть $P(G)$ — вероятность того, что в данный день будет хорошая погода, а $P(E)$ — вероятность того, что погода будет отличной.

4. Вероятности перехода между состояниями:

   • Если сегодня хорошая погода $G$, то завтра с вероятностью 0,7 будет тоже хорошая погода $G$, и с вероятностью 0,3 — отличная погода $E$.

   • Если сегодня отличная погода $E$, то завтра с вероятностью 0,7 будет отличная погода $E$, и с вероятностью 0,3 — хорошая погода $G$.

5. Мы ищем вероятность того, что 9 сентября будет отличная погода, то есть нам нужно вычислить вероятность $P(E_9)$.

6. Давайте построим таблицу состояний для каждого дня. Начнём с 6 сентября:

   • 6 сентября: хорошая погода $G_6 = G$.

   Переходы для 7 сентября:

   • Если 6 сентября погода была хорошая $G$, то:

     • с вероятностью 0,7 на 7 сентября будет хорошая погода $G_7 = G$.

     • с вероятностью 0,3 на 7 сентября будет отличная погода $G_7 = E$.

   Переходы для 8 сентября:

   • Если 7 сентября погода была хорошая $G$, то:

     • с вероятностью 0,7 на 8 сентября будет хорошая погода $G_8 = G$.

     • с вероятностью 0,3 на 8 сентября будет отличная погода $G_8 = E$.

   • Если 7 сентября погода была отличная $E$, то:

     • с вероятностью 0,7 на 8 сентября будет отличная погода $G_8 = E$.

     • с вероятностью 0,3 на 8 сентября будет хорошая погода $G_8 = G$.

   Переходы для 9 сентября:

   • Если 8 сентября погода была хорошая $G$, то:

     • с вероятностью 0,7 на 9 сентября будет хорошая погода $G_9 = G$.

     • с вероятностью 0,3 на 9 сентября будет отличная погода $G_9 = E$.

   • Если 8 сентября погода была отличная $E$, то:

     • с вероятностью 0,7 на 9 сентября будет отличная погода $G_9 = E$.

     • с вероятностью 0,3 на 9 сентября будет хорошая погода $G_9 = G$.

Теперь вычислим вероятность того, что 9 сентября будет отличная погода $P(E_9)$.

На 9 сентября существует два возможных пути:

1. На 8 сентября была хорошая погода $G_8$, и с вероятностью 0,3 на 9 сентября будет отличная погода $E_9$.

2. На 8 сентября была отличная погода $E_8$, и с вероятностью 0,7 на 9 сентября будет отличная погода $E_9$.

Для нахождения полной вероятности используем формулу полной вероятности:

Где:

• $P(E_9 | G_8) = 0,3$ — вероятность, что погода будет отличной, если на 8 сентября была хорошая погода.

• $P(E_9 | E_8) = 0,7$ — вероятность, что погода будет отличной, если на 8 сентября была отличная погода.

Теперь рассчитаем вероятности $P(G_8)$ и $P(E_8)$.

На 8 сентября погода может быть как хорошей, так и отличной:

• $P(G_8) = 0,7 \cdot P(G_7) + 0,3 \cdot P(E_7)$,

• $P(E_8) = 0,7 \cdot P(E_7) + 0,3 \cdot P(G_7)$.

Решая все это пошагово, находим итоговую вероятность того, что 9 сентября будет отличная погода.