Вынесите множитель из-под знака корня: а) √(36·7) б) √75 в) √(3у²) г) √(27х⁵) д) √(12b²), если b ≥ 0

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно воспользоваться свойствами корня. Для этого нужно расп decomposing radicands в такие множители, которые можно выразить как полный квадрат или куб, и затем вынести их за знак корня.

а) $\sqrt{36 \cdot 7}$

Сначала вычислим произведение:
$36 \cdot 7 = 252$

Теперь разложим 252 на простые множители:
$252 = 36 \cdot 7$

Так как $\sqrt{36} = 6$, то:
$\sqrt{36 \cdot 7} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}$

б) $\sqrt{75}$

Разложим 75 на простые множители:
$75 = 25 \cdot 3$

Поскольку $\sqrt{25} = 5$, то:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

в) $\sqrt{3y^2}$

Здесь нужно помнить, что $\sqrt{y^2} = y$ при $y \geq 0$. Так что:
$\sqrt{3y^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{y^2} = \sqrt{3} \cdot y = y \sqrt{3}$

г) $\sqrt{27x^5}$

Разделим 27 и $x^5$:
$27 = 3^3, \quad x^5 = x^4 \cdot x$

Теперь извлекаем корни:
$\sqrt{27x^5} = \sqrt{3^3 \cdot x^4 \cdot x} = \sqrt{3^3} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{x} = 3 \cdot x^2 \cdot \sqrt{3x}$

д) $\sqrt{12b^2}$ при $b \geq 0$

Разложим 12 на простые множители:
$12 = 4 \cdot 3$

Теперь извлекаем корни:
$\sqrt{12b^2} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot b^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{b^2} = 2 \cdot b \cdot \sqrt{3} = 2b \sqrt{3}$