Вычислите log3 81 корня из 3

Для того чтобы вычислить выражение $\log_3 \left( 81 \sqrt{3} \right)$, можно воспользоваться свойствами логарифмов и степеней.

1. Сначала разложим число $81 \sqrt{3}$ на простые множители:

   $$81 = 3^4$$ $$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$

   Следовательно:

   $$81 \sqrt{3} = 3^4 \cdot 3^{1/2}$$

2. Теперь воспользуемся правилом для произведения степеней с одинаковыми основаниями: $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$. То есть:

   $$3^4 \cdot 3^{1/2} = 3^{4 + 1/2} = 3^{9/2}$$

3. Теперь мы можем вычислить логарифм:

   $$\log_3 \left( 81 \sqrt{3} \right) = \log_3 \left( 3^{9/2} \right)$$

4. Используя свойство логарифма $\log_b (a^n) = n \cdot \log_b a$, где $b$ — это основание логарифма, а $a$ — число, получаем:

   $$\log_3 \left( 3^{9/2} \right) = \frac{9}{2} \cdot \log_3 3$$

5. Так как $\log_3 3 = 1$, то выражение упрощается:

   $$\frac{9}{2} \cdot 1 = \frac{9}{2}$$

Ответ: $\frac{9}{2}$.