Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1, 1/5, 1/25

Ответы на вопрос

Отвечает Сейтхазина Ясмин.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1,\ \frac15,\ \frac1{25},\ldots

1) Докажем, что это именно геометрическая прогрессия

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянно:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad (\text{одно и то же число для всех } n).

Вычислим отношение для данных членов:

\frac{\frac15}{1}=\frac15, \qquad \frac{\frac1{25}}{\frac15}=\frac{1}{25}\cdot 5=\frac15.

Отношение одинаковое, значит это геометрическая прогрессия с знаменателем

q=\frac15.

2) Докажем, что она бесконечно убывающая

Бесконечно убывающей называют такую последовательность (прогрессию), в которой каждый следующий член меньше предыдущего:

a_{n+1} < a_n \quad \text{для всех } n,

и при этом последовательность продолжается бесконечно.

У нашей прогрессии

a_{n+1}=a_n\cdot q,\quad q=\frac15.

Заметим, что

0<\frac15<1.

А если $a_n>0$ и $0$ , то при умножении на $q$ число становится меньше:

a_n\cdot q < a_n.

Значит,

a_{n+1}=a_n\cdot \frac15 < a_n

для любого $n$ . Поскольку первый член $a_1=1>0$ , то все члены положительны и это рассуждение работает для каждого шага.

3) Для наглядности (первые сравнения)

1>\frac15>\frac1{25},

и дальше аналогично:

\frac1{25}>\frac1{125}>\frac1{625}>\ldots

Итог

Данная последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=\frac15$ , причём $0$ . Следовательно, каждый следующий член меньше предыдущего, то есть прогрессия является бесконечно убывающей.

Последние заданные вопросы в категории Математика