Найдите корни биквадратного уравнения \( Х^4 + 7Х^2 + 10 = 0 \).

Для нахождения корней биквадратного уравнения $X^4 + 7X^2 + 10 = 0$, начнем с того, что у нас есть уравнение относительно $X^2$.

1. Введем замену: пусть $Y = X^2$. Тогда уравнение примет вид:

   $$Y^2 + 7Y + 10 = 0$$

2. Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $Y$ с помощью формулы дискриминанта. Для уравнения $Y^2 + 7Y + 10 = 0$:

   • $a = 1$, $b = 7$, $c = 10$

   • Дискриминант:

     $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$$

   • Корни квадратного уравнения:

     $$Y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$$ $$Y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$$

3. Получили два корня для $Y$: $Y_1 = -2$ и $Y_2 = -5$.

4. Поскольку $Y = X^2$, мы подставляем эти значения обратно:

   $$X^2 = -2 \quad \text{и} \quad X^2 = -5$$

   Однако, квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у данного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, биквадратное уравнение $X^4 + 7X^2 + 10 = 0$ не имеет действительных решений.