Найти производную функции y=tg(3x-П/4) y=sin2x+4x в степени 4 y=ctg x/3+cos3x

Для того чтобы найти производные данных функций, нам нужно применить основные правила дифференцирования (правила суммы, произведения, цепного правила и др.).

1. Функция 1: $y = \tan(3x - \frac{\pi}{4})$

Для нахождения производной функции используем цепное правило. Производная от $\tan(u)$ равна $\sec^2(u) \cdot u'$, где $u = 3x - \frac{\pi}{4}$.

• Производная от $3x - \frac{\pi}{4}$ по $x$ будет равна 3.

• Поэтому производная от $y = \tan(3x - \frac{\pi}{4})$ будет:

  $$y' = \sec^2(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3$$

2. Функция 2: $y = \sin(2x) + 4x^4$

Производная от суммы — это сумма производных. Рассмотрим каждое слагаемое:

• Производная от $\sin(2x)$ по $x$ с использованием цепного правила: производная от $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$, где $u = 2x$, а производная от $2x$ по $x$ равна 2. Таким образом, производная от $\sin(2x)$ будет $2 \cos(2x)$.

• Производная от $4x^4$ по $x$ равна $16x^3$.

Итак, производная от функции будет:

3. Функция 3: $y = \cot\left(\frac{x}{3}\right) + \cos(3x)$

Для нахождения производной используем стандартные правила:

• Производная от $\cot(u)$ по $x$ равна $-\csc^2(u) \cdot u'$, где $u = \frac{x}{3}$. Производная от $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3}$. Таким образом, производная от $\cot\left(\frac{x}{3}\right)$ будет $-\csc^2\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}$.

• Производная от $\cos(3x)$ по $x$ с использованием цепного правила: производная от $\cos(u)$ равна $-\sin(u) \cdot u'$, где $u = 3x$, а производная от $3x$ по $x$ равна 3. Таким образом, производная от $\cos(3x)$ будет $-3 \sin(3x)$.

Итак, производная от функции будет: