4cos840^0(^0-это градусы) - √48sin600^0(^0-это так же градусы)+ctg^2 30^0(^0-градусы)

Для того чтобы решить выражение $4 \cos(840^\circ) - \sqrt{48} \sin(600^\circ) + \cot^2(30^\circ)$, давайте разберемся с каждым элементом по отдельности.

1. $\cos(840^\circ)$:
   Мы знаем, что угол в 360° — это полный круг, поэтому нужно привести угол 840° к эквивалентному углу в пределах одного круга. Для этого вычислим остаток от деления 840° на 360°:

   $$840^\circ \div 360^\circ = 2 \text{ целых} \, 120^\circ$$

   То есть, $\cos(840^\circ) = \cos(120^\circ)$. Теперь используем известное значение для $\cos(120^\circ)$:

   $$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$

   Таким образом, $4 \cos(840^\circ) = 4 \times -\frac{1}{2} = -2$.

2. $\sin(600^\circ)$:
   Точно так же, как с косинусом, нужно привести угол 600° к эквивалентному углу на круге. Вычисляем остаток от деления 600° на 360°:

   $$600^\circ \div 360^\circ = 1 \text{ целая} \, 240^\circ$$

   То есть, $\sin(600^\circ) = \sin(240^\circ)$. Известно, что $\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

   $$\sqrt{48} \sin(600^\circ) = \sqrt{48} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Сначала упростим $\sqrt{48}$. Мы знаем, что $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$, следовательно:

   $$4\sqrt{3} \times -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{4 \times 3}{2} = -6$$

3. $\cot^2(30^\circ)$:
   Для угла 30° известно, что $\cot(30^\circ) = \frac{1}{\tan(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$. Следовательно:

   $$\cot^2(30^\circ) = (\sqrt{3})^2 = 3$$

Теперь соберем все вместе: