Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 25 см, а диагональ её боковой грани 20 см. Найдите высоту призмы.

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму: её основание — квадрат со стороной $a$, а призма прямая, значит боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны высоте $h$.

1) Используем диагональ боковой грани

Боковая грань — прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Его диагональ равна 20 см, значит:

Возводим в квадрат:

2) Используем диагональ призмы

Диагональ призмы (пространственная диагональ) соединяет вершины, которые не лежат в одной грани: например, нижнюю вершину квадрата и противоположную верхнюю. Её длина равна 25 см.

Проекция этой диагонали на основание — диагональ квадрата. Диагональ квадрата равна:

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a\sqrt{2}$ и $h$:

Возводим в квадрат:

3) Находим $a$, затем $h$

Вычтем (1) из (2):

Подставим в (1):

Ответ