Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите это расстояние.

Пусть расстояние от города до посёлка равно $x$ километров. Тогда, если автомобиль едет со скоростью $v$ км/ч, время, которое он тратит на преодоление этого пути, равно 2,5 часа. Мы можем записать уравнение для времени:

Из этого уравнения выражаем скорость $v$:

Далее, если автомобиль увеличит свою скорость на 20 км/ч, то его новая скорость будет $v + 20$. Время, которое он затрачивает на тот же путь, составит 2 часа, и пройденное расстояние будет на 15 км больше, чем $x$. Получаем следующее уравнение для нового пути:

Теперь подставим выражение для $v$ из первого уравнения в это второе. Получим:

Умножим обе стороны на $\left(\frac{x}{2,5} + 20\right)$:

Раскроем скобки:

Сделаем числовое преобразование для дроби $\frac{x}{2,5}$, заменив её на $\frac{2x}{5}$:

Теперь перенесём все переменные в одну сторону и числа в другую:

Умножим обе стороны на 5:

Таким образом, расстояние от города до посёлка равно 125 километров.