Решите уравнение: 3/x^2+4x-15/x^2-4x=4/x

Рассмотрим уравнение:

Для того, чтобы решить его, начнем с упрощения каждого из выражений. Мы видим, что у нас есть дроби, в которых числители и знаменатели содержат выражения с переменной $x$. Постараемся упростить дроби, чтобы решить уравнение.

Шаг 1: Приведение выражений к общему знаменателю

Первое, что можно сделать, это привести обе дроби на левой части уравнения к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нам нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).

Знаменатели у нас такие:

• $x^2 + 4x - 15$

• $x^2 - 4x$

Попробуем факторизовать их.

1.1 Факторизация $x^2 + 4x - 15$:

Найдем два числа, произведение которых равно $-15$, а сумма — $4$. Это $5$ и $-3$, так как:

Следовательно, $x^2 + 4x - 15$ раскладывается как:

1.2 Факторизация $x^2 - 4x$:

Можно вынести общий множитель $x$:

Теперь у нас есть факторизованные знаменатели:

• $(x + 5)(x - 3)$

• $x(x - 4)$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель будет равен произведению всех множителей: $x(x - 4)(x + 5)(x - 3)$.

Теперь перепишем левую часть уравнения с этим общим знаменателем:

Для этого нужно умножить числители и знаменатели дробей на недостающие множители:

Таким образом, левая часть уравнения становится:

Шаг 3: Упрощение числителя

Рассмотрим числитель:

Раскроем скобки:

Теперь подставим это в числитель:

Таким образом, левая часть уравнения становится: