Решите уравнение 2sinx+корень из 2tgx=0

Чтобы решить уравнение $2\sin{x} + \sqrt{2}\tan{x} = 0$, давайте шаг за шагом разберём его.

1. Преобразуем уравнение:

   У нас есть уравнение:

   $$2\sin{x} + \sqrt{2}\tan{x} = 0.$$

   Напомним, что $\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$. Подставим это в уравнение:

   $$2\sin{x} + \sqrt{2}\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 0.$$

2. Выносим $\sin{x}$ за скобки:

   В обоих членах у нас присутствует $\sin{x}$, поэтому можем вынести его за скобки:

   $$\sin{x}\left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{\cos{x}} \right) = 0.$$

3. Рассматриваем два случая:

   У нас два множителя: $\sin{x}$ и $\left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{\cos{x}} \right)$. Для того, чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Таким образом, мы получаем два возможных случая:

   • Первый случай: $\sin{x} = 0$.

   Это означает, что $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

   • Второй случай: $2 + \frac{\sqrt{2}}{\cos{x}} = 0$.

     Решим это уравнение:

     $$\frac{\sqrt{2}}{\cos{x}} = -2.$$

     Умножим обе части на $\cos{x}$ и получим:

     $$\sqrt{2} = -2\cos{x}.$$

     Разделим обе части на $-2$:

     $$\cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

     Значение $\cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет решение:

     $$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$

     и

     $$x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi,$$

     где $k$ — целое число.

4. Общее решение:

   Таким образом, общее решение уравнения:

   $$x = n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi,$$

   где $n$ и $k$ — целые числа.