Установите множество значений функции \( y = 3\sin x - 4\cos x \).

Нужно найти множество значений (то есть все возможные значения $y$) функции

1) Приведём к виду “амплитуда $\cdot \sin$”

Любое выражение вида $a\sin x+b\cos x$ можно представить как

где $R=\sqrt{a^2+b^2}$.

У нас $a=3$, $b=-4$. Тогда

Покажем, что действительно можно подобрать $\varphi$:

Сравниваем коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ с $3\sin x-4\cos x$:

Такое $\varphi$ существует, потому что

Значит,

2) Используем диапазон синуса

Известно, что для любого $t$:

Тогда для $y=5\sin(x-\varphi)$:

То есть

Ответ

Множество значений функции: