Какое из данных выражений (x^6+4), (x^6-4), (-x^6+4), (-x^6-4) принимает только отрицательные значения? Какое наименьшее значение может принимать выражение (х-7)^2 +2: а) 2, б)7, в)5, г)9?

Рассмотрим по очереди.

1. Какое из выражений принимает только отрицательные значения?

Даны выражения:

1. $x^6+4$

2. $x^6-4$

3. $-x^6+4$

4. $-x^6-4$

Нужно понять, какое из них при любых значениях $x$ всегда отрицательно.

Важно помнить:

для любого $x$, потому что шестая степень любого числа неотрицательна.

Теперь проверим каждое выражение:

1) $x^6+4$
Так как $x^6 \ge 0$, то

Это выражение всегда положительно, не подходит.

2) $x^6-4$
Если $x=0$, получаем:

отрицательное.
Но если $x=2$, то

положительное.
Значит, не всегда отрицательно.

3) $-x^6+4$
Если $x=0$, то

положительное.
Значит, не подходит.

4) $-x^6-4$
Так как $x^6 \ge 0$, то $-x^6 \le 0$. Тогда

Это число всегда меньше нуля, то есть всегда отрицательно.

Ответ: только отрицательные значения принимает выражение

2. Какое наименьшее значение может принимать выражение $(x-7)^2+2$?

Рассмотрим выражение:

Квадрат любого числа неотрицателен:

Наименьшее значение квадрата — это 0.
Оно достигается, когда:

Тогда всё выражение равно:

Значит, наименьшее значение:

Правильный вариант: а) 2

Итоговый ответ:

• только отрицательные значения принимает $\boxed{-x^6-4}$;

• наименьшее значение выражения $(x-7)^2+2$ равно $\boxed{2}$.